Введение в трансфинитные методы

Кирилл Смирнов
Кирилл Смирнов
JetBrains Research
Кирилл — ведущий учёный лаборатории машинного обучения и организации информации JetBrains Research.
Задача 1. Мы умеем упорядочивать и по индукции перебирать элементы конечных и счетных множеств. Однако часто бывает нужно индуктивно перебрать элементы произвольного несчетного множества. Как это сделать? Классический пример из алгебры: построение алгебраического замыкания произвольного поля.

Задача 2. Мы знаем, что множество вещественных чисел "строго больше" множества натуральных чисел в том смысле, что одно из них вкладывается в другое, но не наоборот. А правда ли, что мы так можем сравнить любые два множества? Если можем, то как устроен этот линейный порядок?


Обе эти вроде бы совершенно разные задачи решаются при помощи ординалов (порядковых чисел). После построения иерархии ординалов и алефов мы естественным образом сформулируем знаменитую обобщенную континуум-гипотезу (GCH). В конце доклада увидим, как красиво решаются сформулированные выше задачи.

Данная лекция носит теоретический характер и ориентирована на студентов младших курсов и не боящихся трудностей школьников. Для понимания доклада нужно представлять, что такое многочлен, корень многочлена, поле комплексных чисел, равномощные множества и мощность континуума.